Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 7 points

Suites

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par: \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \mathbb N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\] On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$.

1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]
   1. Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$.
   2. Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.
   3. En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
2. Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$.
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 0$.
   2. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   3. Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
3. Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant a$.
   1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$.
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
4. Dans cette question, on prend $a = 0,02$. L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet. $$ \begin{array}{|r|l|} \hline \text{Variables}& n \text{ est un entier ,} u \text{ et } M \text{sont deux réels }\\ \hline & u \text{ prend la valeur } 0,02 \\ \text{Initialisation}& n \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Saisir la valeur de } M \\ \hline \text{ Traitement}& \text{ Tant que } \ldots\\ &\ldots\\ &\ldots\\ &\text{ Fin tant que } \\ \hline \text{Sortie}& \text{ Afficher } n \\ \hline \end{array} $$
   1. Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.